李表面（Lie theory），定名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李，是数学和物理学中一个极其迫切且无为愚弄的表面，其压根意见是李群和李代数。这个表面提供了一个雄伟的框架，用于态状对称性和一语气变换，因此在许多科学范围中齐有着无为的愚弄，包括量子力学、粒子物理、晶体学和机器东谈主学。本文咱们将深刻探讨李表面的基本意见。

当你在谷歌中搜索“李表面”，会出现这张图片，

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它使得该表面看起来比执行上更难。可是，如若你熟识复数，那么你还是遭受了一个例子，那等于那些于模为1的复数，

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你的本能反映可能是将这些数字视为 e^(i θ)。

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但如若你更深刻地念念考，执行上是在这个复数圆上施加了一个坐标系统，例如，咱们不错说这少许是 e^(i * 0.7π)，

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这个圆是所谓的李群（Lie group）的一个例子，将在稍后解释，但一般来说，它不错是更高维的，更难以可视化的。李表面的精髓是，即使在这些复杂的情况下，也要尽量施加一个坐标系统，使其更容易惩处。

让咱们略微注目地阐发李表面，从李群运行。李群同期是两个东西，它是一个群，但亦然一个流形。

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李群-群

最初让咱们了解一下什么是群，因为它是一个更容易的意见。

群基本上是一组自尊某些属性的对象，使它们看起来具有对称性。咱们盼望对称性自尊的第一个属性是封锁性。以正三角形的对称性G为例，咱们将 h 暗示为沿斜轴的反射对称性，g 暗示为沿垂直轴的另一个反射对称性，那么将 g · h 界说为函数组合，即最初作念 h，然后作念 g。事实诠释注解，g 和 h 组合是一个旋转。效果不迫切-迫切的是效果仍然是一个对称性，因此它仍然在 G 中。

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但为了使这个公理确立，咱们需要对每对 g 和 h 齐诠释注解这少许。你不错一一考据这个情况，但凭据界说，对称性是任何保捏对象不变的变换。是以如若 g 和 h 是对称的，它们保捏对象不变，那么天然，先作念 h 然后作念 g 也会保捏对象不变，因此亦然一个对称性。

对称性还罢职一些其他属性，如“结合律”：

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如存在一个恒等元：

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终末，对称性齐有一个逆：

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如若一组对象自尊这4个条目，它就组成一个群。一个对象的对称性天然地酿成一个群。如若给定一组数字或矩阵，比如一运行的复数单元圆，检讨该连合是否自尊这些属性是很有必要的。在这种情况下，你只需要使用模数相乘，致使不需要用欧拉公式，

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天然，不单是是这个圆酿成了一个群。旋转矩阵的连合，正交或酉矩阵齐是群，

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如若你对群不太熟识，我横暴提议你对这些连合的群公理进行补习。你所需要的只是转置、伴顺心行列式的一些其他属性，

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总之，群只是李表面的一部分。李群亦然流形，那么什么是流形呢？让咱们通过一个例子来联结：复数的圆。

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这个圆是流形，真谛是在它上头的每少许，其邻域基本上看起来像一条线，只是变形了。让咱们放大这少许的邻域。

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在圆的情况下，这是一个弧，不错平滑地变形为直线。

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但不异迫切的是，这条线也不错平滑地变回弧。这种双向变形等于我所说的“看起来像一条线”。天然，不单是是圆上的这一特定点。每个点齐有这么的属性，即邻域看起来像一条线。这等于咱们称圆为一维流形（1-dimensional manifold）的原因。

但是还有更高维的流形，有趣是一样的。

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只是任何点的邻域不再看起来像一条线，而是（在这个圆环的情况下）看起来像一个平面。是以，一个圆环的名义是一个二维流形。一个更奇特的例子是SO（3），三维的旋转。SO（3）看起来像什么呢？

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关于三维旋转，最初要指明旋转轴，然后是绕这个轴的旋转角度θ。咱们不错将这个特定的旋转暗示为流形上的一个点，球是一个实心球。球上的相应点将沿着旋转轴的某处。轴上的位置取决于绕这个轴的旋转角度。例如，这个轴上的点，从中心朝上的θ单元，对应于沿着这个轴的θ旋转。至于宗旨，使用右手规则。是以这个点在中心上方，意味着使用右手规则的逆时针旋转。终末，咱们将旋转角抑遏为π，是以如若你的旋转角进取π，那么就朝违犯的宗旨旋转。

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这等于咱们不错从几何上念念考SO（3）的状貌，但这是一个格外奇怪的几何图形，因为这两个相对的点执行上代表了疏导的旋转：

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毕竟，它们齐代表了180度的顺时针或逆时针旋转。你不错把这两个点看作是一个肖似的门，当你朝一个宗旨旋转得越来越多，况且进取了π，那么立即通过门链接朝上行进。

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但这不单是是一双点，球的名义上的每一个场所齐是一个门，只是旋转轴不同。

如若听起来很奇怪，那如实是奇怪的，但是，这仍然是一个流形，更具体地说是一个三维流形，这不错在更高的维度中正确地可视化，但必须在5维空间中智商作念到这少许。总的来说，一个n维流形意味着扫数的邻域齐“看起来像”n维空间。

李群同期是群和流形的举座念念想意味着两件事：最初，咱们无须把这些SO(n)和SU(n)纯正地看作一堆矩阵，咱们不错几何地念念考它们，尽管在更高维的旋转中，它变得不那么可视化。其次，在这两者的交叉口，咱们不错使用群论的用具和微分几何的用具，这是流形的筹商，来筹商它们。李最初将李群视为流形。

李代数

地球的名义是流形的另一个例子，固然地球的名义是迂曲的，但是咱们不错通过施加一个坐标系统（例如经纬度系统）来制作一张平面的舆图。这么，咱们就不错将复杂的迂曲空间转机为更容易惩处的平面空间。这是一个将复杂的几何对象（如地球名义）简化为咱们不错更容易惩处的对象（如舆图）的例子。

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李的念念想是类似的。李群是复杂的曲面流形，不异，咱们要缔造一个坐标系统，一个平的空间来惩处它，阿谁平的空间等于李代数。让咱们用更多的细节诠释这少许。在李群是复数圆的情况下，坐标系统由1（恒等元）处的切线组成。

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它的职责旨趣是将切线向量与圆上的点相对应，这口角常天然的。如若向量的长度是θ，那么咱们将它对应到李群上1处距离θ的一个点。

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执行上，这个向量不错被觉得是iθ，

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这是因为复数不仅是平面上的少许，也不错被觉得是从原点到该点的一个向量，

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是以朝上的向量对应于纯虚数，

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因此，这个朝上的切线向量不错被觉得是iθ。但是咱们说，作为一个坐标系统，切线向量对应于距离恒等元θ的一个点，你知谈这个点是什么吗？这恰是

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这也与更一般的李群和李代数的相称相似。

最初，有一个李群，咱们想找到这个群的恒等元（即1）。一朝完成了这个任务，谈判恒等式处的切空间。这个平的空间是对应的李群的李代数。

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李代数作为坐标系统的职责旨趣是使切空间（即1处的切线）上的切线向量“包装”在李群上，然后取端点。

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这种将切线向量对应到流形上的点的“包装”动作称为指数映射（exponential map）。在这个特定的情况下，向量iθ被包装到李群上的e^(iθ)，是以它执行上是一个指数映射。

《 人民日报 》（ 2023年09月19日 03 版）

据俄卫星社援引联合国官方网站9月25日报道，当地时间周日，作为菲总统马科斯代表的菲律宾外交部长恩里克·马纳洛，在纽约举行的联合国大会一般性辩论上再次公开提起所谓的“南海仲裁案”，话里话外可以说是句句针对中国。

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但这种指数映射的意见适用于一般的流形，而不单是是李群。

换句话说，即使关于一般的流形，将切空间上的切线向量映射到流形上的点的动作仍然被称为指数映射，瞎想情况下，咱们但愿只使用平的空间，因为它比迂曲的对象更容易惩处。

这个指数映射，或者执行上，其逆映射，或对数映射，将把流形上的少许收复到平坦空间上的一个切线向量。是以，这是联结李群的第一步。把它行为流形，咱们想要把李群收复为李代数，通过对数映射，将恒等元处的切空间收复。

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但是，如若咱们把李群行为群，会奈何呢？群公理告诉咱们群元素和点乘应自尊哪些条目，

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是以咱们饶恕这么一个群的乘法是若何运算的。

例如来说，有一个李群，其恒等元用红点暗示，对应的李代数，是恒等元处的切空间。中间的红点对应于李群上的恒等元。

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让咱们谈判一双元素g，h，以及它们的乘积g·h。咱们不错用对数映射将扫数这些点收复到平坦空间上的切线向量，

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该映射将扫数这些点收复到平坦空间上的切线向量。当今，如若唯有对应于g和h的这些切线向量，能否不参考李群，就能笃定对应于g·h的切线向量呢？

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一个灵活的揣测可能是

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但这些g和h是矩阵，它们的乘法状貌与数字不同。

可是，执行上存在一个公式。如若用X暗示log g，用Y暗示log h，用Z暗示log (g·h)，那么Z不错作为无限级数

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这看起来令东谈主生畏，但不错判辨为两个浅显的操作：最初，加法或减法。这恰是那些切线向量的加法或减法。其次，这些方括号，被称为李括号（Lie brackets）。现时，你不错将它们视为将两个切线向量变为另一个切线向量的浅显但特定的操作。因此，如若咱们还知谈李括号，那么就知谈对应于g·h的切线向量。这个公式，称为Baker-Campbell-Hausdorff公式，简称BCH公式，使咱们大略齐全在李代数上复制群乘法。是以，咱们不错只在李代数上运算，而不是在迂曲的空间上。

当今，在李群上，群公理告诉咱们乘法应该自尊什么，而在李代数上，李括号也会相应地自尊一些性质。

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现时，这些性质的细节不迫切，但要知谈，这些李括号的性质常常来自于李群中的乘法性质。识别这些性质是齐全淹没李群，只关注李代数的另一步。因此，尽管咱们本来想筹商李群（因为它是一个更通用的结构），但咱们不错转而筹商李代数，因为李代数包含了李群的扫数迫切信息，况且它是一个更浅显的结构。如今，大多量教科书将李代数界说为一个具有自尊扫数这些性质的李括号的向量空间，但应值得预防的是，这些李群是这些性质的迫切根源。

李表面图示

这引出这个被觉得代表李表面的图示。

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这是什么呢？如若你传奇过怪兽群（monster group），它们意见是相似的。关于怪兽群，咱们想要谈判有限群，有限连合G，

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这么不错界说自尊这些公理的乘法。这些有限群不错判辨为不同的构建块，被称为浅显群（simple groups）。

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这些浅显群是有限群的原子，数学家想要对这些构建块进行分类。有许多不同的机制不错产生无限多的浅显群。以相似状貌产生的构建块被归为一个无限族（infinite families）。但是还有好多可能性，被称为“稀薄”群（sporadic groups）。有26或27个，取决于你是否想将其中一个（构建块）想象在那些无限族中。

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趁机说一句，这个构建块被称为蒂茨群（Tis group），以法国数学家雅克·蒂茨定名。

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这有点离题，因为这些稀薄群的明星是怪兽群，到现时为止是最大的、最复杂的稀薄群（这26、27个稀薄群中的）。这个分类与对李代数的分类类似。类似于群的界说，李代数也有一个自尊某些性质的李括号。只用这些性质，咱们想要对李代数的构建块进行分类。类似于群的情况，这些浅显李代数有无限的族。这不像群，赶巧唯有4个，永别标为A_n, B_n, C_n和D_n。除了这些无限族外，还有赶巧5个被遗漏的，被称为“例外”的李代数，永别标为E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。

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E_8是这五个中最复杂的，因此它在某种进度上是李代数中的怪兽群。这个特定的图片是E_8的图示态状：

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是以，即使想要筹商李群，咱们也要转而筹商李代数，因为扫数信息齐被保留了万博安全认证可信吗，况且它们更容易筹商。